| >> | No.124270 В начале второй половины XIX века математика была очень маленькой по объёму. Любой образованный математик мог полностью выучить всё содержание математической науки, запомнить все существовавшие теоремы с доказательствами. Затем в математике случилась методологическая революция, связанная с созданием Георгом кантором теории множеств. Множества под разными названиями и до Кантора уже существовали в математике, ими интересовался Дедекинд, но всё же Кантору принадлежит слава основателя. Теория множеств быстро обрела популярность. На основе теории множеств было создано больше математики, чем за все предшествующие века.
В то время почти все науки бурно развивались, в том числе философия. В начале XX века существовало много философских школ. Марксистский материализм, позитивизм, второй позитивизм в виде эмпириокритицизма и махизма и множество других течений. Среди них существовало также течение, рассматривавшее философию как анализ языка. Это течение обрело популярность после того, как в 1917 году Людвиг Витгенштейн написал свой "Логико-философский трактат". Под влиянием Витгенштейна философы стали рассматривать весьма интересное понятие метаязыка - языка, на котором описан язык. Под влиянием Витгенштейна находились многие философы, в том числе Бертран Расселл.
На то же время пришлась катастрофа в математике. Едва математики закончили перестройку своей науки на основе теории множеств, как в теории множеств нашлись противоречия. По сути, теория множеств оказалась ложной, а вместе с ней ложной оказалась и большая часть математики. Один из этих парадоксов был открыт, между прочим, Расселлом. В попытках преодолеть эти парадоксы впал в депрессию и умер Кантор. У математиков было две альтернативы - либо отказаться от теории множеств и вместе с ней от почти всей математики, либо как-то доработать теорию. Естественно, математики выбрали второй путь.
Математики обратились к философии. Самой приличной философией в то время выглядела английская аналитическая философия. Возникла математическая логика, основанная на анализе языков. Возникла наука метаматематика, рассматривавшая математику как язык с метаязыком, - то есть как набор ничего не значащих символов, с которыми управлялись по раз навсегда определённым правилам, аксиомам. Так шахматную партию описывают шахматной нотацией. Теорию множеств превратили в формализованный язык и жёсткими разнообразными аксиомами запретили формулировать на этом языке парадоксальные утверждения. По сути, аксиомы теории множеств - это костыли, каждый из которых возник только для того, чтобы ликвидировать известный парадокс. В конце концов возникло несколько вариантов теории множеств, в которых не наблюдалось очевидных противоречий.
Постепенно возникло три основных направления так называемого обоснования математики. Первый подход возглавлялся Гильбертом. Гильберт считал, что математику можно обосновать методом спуска от более сложного к менее сложному. Например, математический анализ непротиворечив потому, что непротиворечива арифметика; арифметика непротиворечива потому, что непротиворечива теория множеств. Гильберт считал, что нужно лишь доказать непротиворечивость теории множеств, и дело в шляпе. Под влиянием Гильберта находилась школа Бурбаки, о которой упомяну ниже. Второй подход возглавлялся Расселлом. Расселл намеревался свести математику к формальной логике. Сторонники третьего подхода решили отказаться от части арсенала математики, - например, от закона исключённого третьего применительно к бесконечным множествам.
Подход Гильберта рухнул, когда Курт Гёдель совершенно внезапно для всех доказал свои известные теоремы. Задача Гильберта оказалась попросту невыполнимой. Подход Расселла рухнул, когда Расселл открыл, что математика, вообще-то, к логике не сводима. Расселлу пришлось установить дополнительную крайне неочевидную и спорную аксиому сводимости, что, конечно же, означало крах его подхода. Третий подход, поначалу привлекавший многих математиков, оказался слишком слабым. В нём оказался невозможным матан. Нельзя было даже доказать, что непрерывная линия, начало которой ниже оси абсцисс, а конец выше, пересекается с этой самой осью абсцисс.
Математика оказалась чем-то большим, чем просто язык.
К тому моменту, как рухнули все три направления обоснования математики, аналитическая философия уже перешла от изучения языка к изучению более интересного понятия, - языковых игр. Были попытки ввести новую науку, более могучую, чем метаматематика, с более сильным методом, чем матлогика, но они не удались. Во многом потому, что все философы, которые понимали математику, умерли, а новое поколение философов оказалось слишком глупым, чтобы быть способными в науку. Вскоре возник современный нам постмодернизм, который науку попросту высмеивает. Ныне аналитическая философия в упадке.
Официально считается, что математика выстроена на основе теории множеств с аксиоматикой Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, непротиворечивость которой не может быть доказана в принципе, но на самом деле это не так. Математика сейчас сильно неформальна.
Теперь пару слов о формализме и школе Бурбаки. Генерал Николя Бурбаки из университета Нанкаго - это коллективный псевдоним группы французских математиков, созданной в 1935 году. Во Франции в то время был очень моден дадаизм и абсурдизм (дадаизм даже обругал Гитлер в своей борьбе), поэтому группа отличалась весьма своеобразным чувством юмора. Бурбакисты упивались своей гениальностью и позволяли себе жестоко шутить над менее умными людьми. Генерал Бурбаки намеревался изложить всю оформившуюся математику в одном многотомном трактате в стиле Гильберта. Трактат этот известен крайне жёсткой заформализованностью и абстрактностью. Так, чтобы ввести понятие числа 1, генералу понадобилось двести страниц текста мелким шрифтом. Всего в книге пятьдесят толстенных томов, которые сообщают совершенно тривиальные вещи неимоверно сложным языком.
К сожалению, научное сообщество не разбиралось в дадаизме и поэтому восприняло Бурбаки всерьёз. Поэтому жёсткий формальный стиль стал стандартом написания учебников, причём если трактат Бурбаки действительно строг, то в остальных математических трактатах строгостью и не пахнет. Студенту приходится продираться сквозь нагромождения символов просто из-за моды. Чтобы изучить то, что в замечательных древних учебниках излагалось в нескольких абзацах, современный студент вынужден тратить целые месяцы. Пользы при этом студент не извлекает. Есть мнение, что именно из-за Бурбаки математическая наука пришла ныне в упадок и производит впечатление ненужной абстрактной чуши.
Заформализованный стиль изложения в сочетании с неформальностью математики - это довольно жуткая, враждебная ко всему живому эклектика. Из-за неё хороших, годных, ясных учебников в природе нет. Чтобы получить крупицу знаний, приходится жёстко вкалывать, пытаясь понять, какой же именно смысл скрывается за очередным нагромождением этих чёртовых символов.
Теперь немного о современном состоянии математики. Как я упоминал, ко второй половине девятнадцатого века математики было мало. Значительная часть той математики помещалась в учебнике Огюстена Луи Коши о дифференциальном и интегральном исчислении, написанном в 1821 году. Этот курс произвёл почти такое же впечатление на современников, какое произвели полуторастами годами ранее "Математические начала натуральной философии" Ньютона. Курс был переведён на многие языки, в том числе на русский в 1831 году учеником Коши Буняковским. Многие математики решили создать свои собственные курсы на основе книги Коши. Эта традиция, в общем, продолжается и сегодня. Один из таких курсов - трёхтомник Фихтенгольца, состоящий из трактата Коши и дополненный некоторыми довольно скучными эвристическими приёмами взятия интегралов. Этот трёхтомник использует непопулярные в современной науке слова - например, "варианта" и "точка сгущения".
В начале двадцатого века в математике случилась, как я упоминал, революция. Было создано много разделов математики, - например, топология и теория размерности. Между прочим, был создан интеграл Лебега. Однако копипастеры Коши эту революцию в основном проигнорировали. Проигнорировал её и Фихтенгольц.
Не стоит думать, что математики весь двадцатый век занимались попытками обосновать свою науку. Это не так. Математики довольно быстро сообразили, что математика неформальна, и занялись непосредственно математикой. Теория категорий, дифференциальная и алгебраическая геометрия, дифференциальная топология, K-теория, - всё это и многое другое было создано в золотую эпоху математики в XX веке. К сожалению, все эти открытия авторами учебников проигнорированы. Есть даже широко известное в узких кругах понятие - революция, которую никто не заметил.
Объём математических знаний увеличился колоссально. Для примера упомяну доказательство теоремы о классификации простых конечных групп. Доказательство этой теоремы поделили между собой более сотни авторов и публиковали с 1955 по 2004 год. Считается, что ни один человек не в состоянии прочесть это доказательство полностью, это не по силам кратковечным кускам плоти.
Советские математики во многом вершили эту революцию, но по каким-то причинам, которые я до конца не понимаю, не смогли ввести полученные открытия в образовательную систему. Возможно, сказалось влияние Бурбаки. Возможно, был какой-то заговор, потому что американские учёные тоже не смогли этого сделать. Возможно, инертность образовательной системы так велика, что ничего в ней изменить попросту нельзя. Так или иначе, советские и российские студенты вынуждены учиться по Фихтенгольцу и решать Демидовича. Американским студентам повезло больше, их книги всё же содержат полезный материал.
Однако разрыв между содержанием современных учебников и современным состоянием математики колоссален. Студенты изучают неопределённый интеграл и всяческие подстановки Эйлера, а математики исследуют аналитические многообразия и оперируют потоками Риччи. Современный студент даже не в состоянии понять, что именно доказал Гриша Перельман. В общем-то, всё это плохо.
Теперь о матане. Математический анализ в том виде, в котором его преподают, правильнее называть Calculus. Смысл его в том, чтобы научиться вычислять значения разнообразных функций с помощью бесконечных сумм. Главные цели - это, во-первых, приближение функции в некоторой точке некоторым рядом с оценкой погрешности, и, во-вторых, разбиение какой-то геометрической фигуры, в каждой точке которой задана функция, на бесконечно много частей и особое суммирование значений функции на получившихся частях, чтобы как бы получить значение функции от всей фигуры, то есть интегрирование. Фундамент исчисления - теория вещественного числа. Чтобы понимать анализ, очень важно знать свойство непрерывности вещественных чисел, описанное Дедекиндом. Теория вещественного числа позволяет выстроить теорию последовательностей; теория последовательностей позволяет выстроить теорию рядов и достичь первой цели. Кроме того, рассматриваются как отдельные независимые разделы частные случаи интеграла Римана (неопределённый, определённый, двойной, тройной, поверхностный и прочие интегралы). Изложение теории интеграла обычно нестрогое и сводится к инструкциям, как и что сделать, чтобы кое-что посчитать.
Алгебра нужна для того, чтобы познакомить студента с решениями уравнений, а также с основными структурами математики начала XX века, - группой, кольцом, полем, модулем, идеалом, линейным пространством, тензорным произведением, etc.
Если действительно хочешь понимать, как это работает, то тебе следует взять какой-то один учебник и прочитать его от корки до корки. По анализу рекомендую либо книгу Зорича в двух томах "Математический анализ", либо книгу Рудина "основы математического анализа". По алгебре рекомендую либо трёхтомник Кострикина "Введение в алгебру", либо талмуд ван дер Вардена "Алгебра", в сочетании с полезной книгой Винберга "Курс алгебры". В России Кострикин предпочтительнее, у него и задачник есть отдельным томом.
Решать Демидовича следует без фанатизма. Большинство его задач скучны и не нужны. Даже собственно математики их вряд ли сходу решат без чтения спецлитературы (в ВУЗах умение решать Демидовича нагло преподносят как самую что ни на есть разактуальнейшую и полезнейшую математику; в ВУЗах врут). Однако типовые задания нужно всё-таки уметь делать, это необходимо.
Демидович с Фихтенгольцем жутко неправославные. Если кто-то их постоянно хвалит, то это верный признак, что перед тобой лапотник. Фихтенгольца можно похвалить в особых ситуациях, но вообще это старьё и непотребство. Демидович оторван от реальности.
Ещё раз обращу внимание на вопрос так называемой "математической строгости". Для того, чтобы решить, какой уровень строгости является приемлемым и что вообще такое доказательство, нужно знать и философию, особенно логику, онтологию и эпистемологию, и психологию. Утверждение, что строго только то рассуждение, которое многословно записано на бумаге в абстрактно-формальном стиле, следует признать неверным, а людей, подходящих к строгости только с позиций формализма, надобно считать ретроградами. Современные стандарты строгости ещё только должны быть установлены - на основе изучения современных достижений философии вообще и логики в частности. |